Fermat's Last Theorem and Arcadia

Excerpt from Arcadia by Tom Stoppard, Pg. 6--
SEPTIMUS: In the margin of his copy of Arithmetica , Fermat wrote that he had discovered a wonderful proof of his theorem but, the margin being too narrow for his purpose, did not have the room to write it down. The note was found after his death, and from that day to this--

THOMASINA: Oh! I see now! The answer is perfectly obvious.

SEPTIMUS: This time you may have overreached yourself...

My lady, take Fermat into the music room. There will be an extra spoonful of jam if you find his proof.

THOMASINA: There is a no proof, Septimus. The thing that is perfectly obvious is that the note in the margin was a joke to make you all mad.

No one really knows if Fermat's note in the margin was a joke or not. Mathematicians have long wondered if he was simply way ahead of his time, wrong, crazy, or if it was a joke. But for about three-hundred thirty years, the idea that he might have proved it baffled the best mathematicians. It was not proven until Andrew Wiles finally completed a one-hundred page proof on September 19, 1994.

Pierre de Fermat
picture of Fermat
Fermat was born on August 20, 1601, in Beaumont-de-Lomagne, a small town in southwest France. As an adult, he became a member of local government and a judge. At the time, judges were discouraged from socializing in an attempt to make them impartial. He therefore had plenty of time to himself, and spent much of it as an amateur mathematician. He became highly accomplished in probability theory and the foundations of calculus, and his specialty
was number theory. Number theory is the study of whole numbers and their relationships. He would often send letters of challenge to other mathematicians, asking them to attempt his problems. While this did help to advance mathematical thought, it frustrated many of his contemporaries, including Rene Descartes and John Wallis, especially considering he would never tell them how he found the answers.

The Problem

Fermat created his "Last Theorem" while studying Arithmetica , an ancient Greek mathematical book by Diophantus of Alexandria. Diophantus discussed in the book positive whole number solutions to the Pythagorean Theorem, a squared + b squared = c squared. Pythagoras developed this formula to describe the lengths of sides of right triangles. There are an infinite number of solution sets for a, b, and c for this equation. They are known as Pythagorean triples, and the smallest is a=3, b=4, c=5. Fermat's Last Theorem takes this idea one step further. He asserted that, for the equation x to the n power + y to the n power = z to the n power, there are no nontrivial solutions where n is any number greater than 2. For Pythagoras's theorem, there are an infinite number of solutions, for Fermat's very similar equation, there are no solutions.

History of the Problem

It is believed that Fermat wrote the note that has taunted mathematicians for over three-hundred year around 1630. It said:

Cubem autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caparet.

Which means:

There are no positive integers such that x to the n power + y to the n power = z to the n power for n>2. I've found a remarkable proof of this fact, but there is not enough space in the margin [of the book] to write it.

He did send challenge letters to other mathematicians with proofs for n = 3 and n = 4. Below are extracts from a letter, in French, that is now at the university library in Leyden. He sent it discussing his proof for n = 3.

Je ne m'en servis au commencement qe pour demontrer les propositions negatives, comme par exemple, qu'il n'y a aucu nombre moindre de l'unitŽ qu'un multiple de 3 qui soit composŽ d'un quarrŽ et du triple d'un autre quarrŽ. Qu'il n'y a aucun triangle rectangle de nombres dont l'aire soit un nombre quarrŽ. La preuve se fait par Ê en cette manire. S'il y auoit aucun triangle rectangle en nombres entiers, qui eust son aire esgale ˆ un quarrŽ, il y auroit un autre triangle moindre que celuy la qui auroit la mesme proprietŽ. S'il y en auoit un second moindre que le premier qui eust la mesme proprietŽ il y en auroit par un pareil raisonnement un troisieme moindre que ce second qui auroit la mesme proprietŽ et enfin un quatrieme, un cinquieme etc. a l'infini en descendant. Or est il qu'estant donnŽ un nombre il n'y en a point infinis en descendant moindres que celuy la, j'entens parler tousjours des nombres entiers. D'ou on conclud qu'il est donc impossible qu'il y ait aucun triangle rectange dont l'aire soit quarrŽ. Vide foliu post sequens....

Je fus longtemps sans pouvour appliquer ma methode aux questions affirmatives, parce que le tour et le biais pour y venir est beaucoup plus malaisŽ que celuy dont je me sers aux negatives. De sorte que lors qu'il me falut demonstrer que tout nombre premier qui surpasse de l'unitŽ un multiple de 4, est composŽ de deux quarrez je me treuvay en belle peine. Mais enfin une meditation diverses fois reiterŽe me donna les lumieres qui me manquoient. Et les questions affirmatives passerent par ma methods a l'ayde de quelques nouveaux principes qu'il y fallust joindre par necessitŽ. Ce progres de mon raisonnement en ces questions affirmatives estoit tel. Si un nombre premier pris a discretion qui surpasse de l'unitŽ un multiple de 4 n'est point composŽ de deux quarrez il y aura un nombre premier de mesme nature moindre que le donnŽ; et ensuite un troisieme encore moindre, etc. en descendant a l'infini jusques a ce que vous arriviez au nombre 5, qui est le moindre de tous ceux de cette nature, lequel il s'en suivroit n'estre pas composŽ de deux quarrez, ce qu'il est pourtant d'ou on doit inferer par la deduction a l'impossible que tous ceux de cette nature sont par consequent composez de 2 quarrez.

Il y a infinies questions de cette espece. Mais il y en a quelques autres que demandent de nouveaux principes pour y appliquer la descente, et la recherche en est quelques fois si mal aisŽe, qu'on n'y peut venir qu'avec une peine extreme. Telle est la question suivante que Bachet sur Diophante avoŸe n'avoir jamais peu demonstrer, sur le suject de laquelle Mr. Descartes fait dans une de ses lettres la mesme declaration, jusques la qu'il confesse qu'il la juge si difficile, qu'il ne voit point de voye pour la resoudre. Tout nombre est quarrŽ, ou composŽ de deux, de trois, ou de quatre quarrez. Je l'ay enfin rangŽe sous ma methode et je demonstre que si un nombre donnŽ n'estoit point de cette nature il y en auroit un moindre que ne le seroit par non plus, puis un troisieme moindre que le second etc. a l'infini, d'ou l'on infere que tous les nombres sont de cette nature....

J'ay ensuit considerŽ questions que bien que negatives ne restent pas de recevoir tres-grande difficultŽ, la methods pour y pratiquer la descente estant tout a fait diverse des precedentes comme il sera aisŽ d'espouver. Telles sont les suivantes. Il n'y a aucun cube divisible en deux cubes. Il n'y a qu'un seul quarrŽ en entiers que augmentŽ du binaire fasse un cube, ledit quarrŽ est 25. Il n'y a que deux quarrez en entiers lesquels augmentŽs de 4 fassent cube, lesdits quarrez sont 4 et 121....

Apres avoir couru toutes ces questions la plupart de diverses (sic) nature et de differente faon de demonstrer, j'ay passŽ a l'invention des regles generales pour resoudre les equations simples et doubles de Diophante. On propose par exemple 2 quarr. + 7957 esgaux a un quarrŽ (hoc est 2xx + 7967 Ê quadr.) J'ay une regle generale pour resoudre cette equation si elle est possible, on decouvrir son impossibilitŽ. Et ainsi en tous les cas et en tous nombres tant des quarrez que des unitez. On propose cette equation double 2x + 3 et 3x + 5 esgaux chaucon a un quarrŽ. Bachet se glorifie en ses commentaires sur Diophante d'avoir trouvŽ une regle en deux cas particuliers. Je me donne generale en toute sorte de cas. Et determine par regle si elle est possible ou non....

Voila sommairement le conte de mes recherches sur le sujet des nombres. Je ne l'ay escrit que parce que j'apprehende que le loisir d'estendre et de mettre au long toutes ces demonstrations et ces methodes me manquera. En tout cas cette indication seruira aux sauants pour trouver d'eux mesmes ce que je n'estens point, principlement si Mr. de Carcaui et Frenicle leur font part de quelques demonstrations par la descente que je leur ay envoyees sur le suject de quelques propositions negatives. Et peut estre la posteritŽ me scaure grŽ de luy avoir fait connoistre que les anciens n'ont pas tout sceu, et cette relation pourra passer dans l'esprit de ceux qui viendront apres moy pour traditio lampadis ad filios, comme parle le grand Chancelier d'Angleterre, suivant le sentiment et la devise duquel j'adjousteray, multi pertransibunt et augebitur scientia.

    But he never published a proof of a complete theorem, nor was one ever found in his documents after his death. Actually he only published one mathematical document in his life, and that was an appendix to a colleague's book. Fermat apparently had a habit of making notes in the margins of his book, and his son discovered the note about his last theorem after his death, while trying to compile his notes and papers to be published.
    Since then the problem became known as Fermat's Last Theorem, because all of his other theorems and problems were proved, disproved, or solved by other mathematicians during his life time or fairly soon after his death. But his Last Theorem, despite the fact that mathematicians worldwide continued to study it and attempt the proof, remained unproven until Andrew Wiles came along, and spent many years culminating the work of others and adding his own ideas to finally come up with a proof. His proof is generally accepted, but it considering its extensive length and only recent publication, some mathematicians are still questioning it.

Picture of the gardens at Stour

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